수포자도 5분이면 이해되는 전기 기초수학 복소수 정복하기

소방시설관리사, 소방기술사, 소방기사(전기분야) 핵심 기초수학_복소수| 이보다 쉬울 수는 없다

소방시설관리사, 소방기술사, 소방기사(전기 분야)를 공부함에 있어 기초수학은 알고 있어야 공부가 한결 편하고 쉬워진다. 오늘 포스팅 내용은 복소수에 관한 내용이다. 복소수를 쉽게 이해하기 위해서는 삼각함수 공부가 선행되어야 한다.

 

삼각함수를 모르면 약간은 피곤할 수 있다. 몰라도 그렇게 어렵지 않으니 너무 걱정할 필요는 없다. 오늘 공부할 내용은 복소수에 관한 내용 중 ① 복소평면, ② 복소수 절댓값 구하는 방법, ③ 공액복소수, ④복소수의 사칙연산이다. 

 

복소수는 전기분야 관련 시험 과목 중 모든 과목에서 매우 기초가 되는 중요한 부분이다. 특히 전자기학과 회로이론 과목에서 비중 있게 다루어지고 있다. 오늘 포스팅하는 내용 정도만 알고 있으면 문제를 푸는데 큰 어려움은 없을 것이다. 

 

복소수란 a,b가 실수이고 j = 루트(-1) 일 때  a + jb 꼴의 수를 복소수라 한다

 

1. 복소평면(複素平面)은 무엇이고, 구성은 어떻게 되어 있는가?

복소평면

    복소평면(複素平面)은 복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 개발된 좌표평면으로 서로 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 이것은 복소수의 실수부가 실수축에, 허수부가 허수축에 대응된 형태의 데카르트 좌표로 볼 수 있다. 

 

복소평면의 개념은 복소수의 기하학적 해석을 가능하게 한다. 덧셈연산 하에서, 복소수들은 복소평면상에서 벡터처럼 더해진다. 두 복소수의 곱셈은 극좌표를 이용하면 쉽게 표현할 수 있다. 특히 복소수의 크기가 1인 복소수 간의 곱셈은 회전하는 것처럼 행동한다

복소평면에서 A와 B의 위치 표현방법

복소수 평면

 

 

2. 공액 복소수

    공액 복소수는 거울을 생각하면 이해하기 편하다. 즉 거울처럼 반사하여 대칭을 이루게 하면 된다. 여기서 중요한 부분은 2사분면과 3사분면으로 대칭하면 안 된다는 것이다. 4사분면으로 대칭되어야 한다는 것을 꼭 유념해야 한다. 또 실수부는 바뀌지 않는다는 것도 잊어서는 안 된다.

 

$A$에 대한 공액복소수는 $\overline{A}$과 같이 표기합니다. 즉, $A$의 위에 있는 over line이 공액복소수를 표기하는 것입니다.

공액복소수 표기 좌표 평면도

 

 

    ■ 공액 복소수 연습

        - 실수부는 그대로, 허수부만 부호를 바꿔주면 된다

 

 

3. 복소수의 절댓값을 구해보자

    - 3 : 4 : 5 법칙을 이용하라

      a값 = 3, b값 = 4, 결괏값 = 5의 배수이다. 즉 a = 3의 배수, b = 4의 배수, 결괏값은 5의 배수가 됨을 알고 있으면 계산기 없이도 눈으로 계산할 수 있게 된다.

 

 

 

4. 복소수의 사칙연산 방법

    복소수의 사칙연산은 제곱근의 사칙연산과 비슷해서 어렵지 않다. 동류항 계산을 응용하면 쉽게 할 수 있다. 여기서는 분모의 실수화라는 과정을 거치게 된다. 이것은 분모의 유리화와 같다. 유리수가 실수로 숫자만 바뀐 것이다. 그리고 허수와 허수단위가 가지는 의미를 잘 파악하고 있다면 복소수의 곱셈도 어렵지 않게 할 수 있다. 

    1) 복소수의 덧셈과 뺄셈

        ① 복소수의 덧셈

             실수는 실수끼리, 허수는 허수끼리 더해주면 된다

             A + B = (a + c) + j(b + d)

 

        ② 복소수의 뺄셈

             실수는 실수끼리 , 허수는 허수끼리 빼주면 된다

             A - B = (a - c) + j(b - d)

 

        ③ 연습문제

              ㉠ 복소수의 덧셈

                   (3 + j4) + (6 − j10) = (3 + 6) + j(4 − 10) = 9 − j6

     

              ㉡ 복소수의 뺄셈

                   (3 + j4) − (6 − j10) = (3 − 6) + j(4−(−10)) = −3 + j14

 

 

    2) 복소수의 곱셈

         - 복소수를 곱할 때는 이항식 곱에서 괄호를 푸는 것과 비슷한 방식으로 하면 된다 

         ① 직각좌표 형식 

              - 일반적 이항식 곱셈과 달리 『j2 = -1』이 된다는 것에 유의해야 한다 

         ② 극좌표 형식

              - 각도 : 곱셈이 아닌 덧셈으로 해야 함에 주의해야 한다

         ③ 복소수의 곱셈 연습문제

              (2 + j3) × (1 − j5) = 2 × 1 + 2 × j(−5) + j3 × 1 + j3 × j(−5)

              =2−j10 + j3 − j152

              =2 − j7 −15(−1)

              =17−j7

 

 

    3) 복소수의 나눗셈

        - 복소수의 나눗셈은 분모의 실수화를 통해서 계산하고, 극좌표 형식으로 변환하여 계산하면 더욱 쉽게 계산할 수 있다

         ① 직각좌표 형식

              - 전자계산기 사용법을 익히자. 이렇게 복잡한 과정을 거치지 않고 식만 입력하면 바로 답이 나온다. 시험 시간도 부족한데 문명의 이기를 활용하자!

         ② 극좌표 형식

 

    4) 복소수의 사칙연산 연습문제

         - A = 3 + j4, B = 6 - j8

        ① A + B

             (3 + j4) + (6 - j8) = 9 - j4

 

        ② A - B

             (3 + j4) - (6 - j8) = -3 + j12

 

        ③ A × B

             (3 + j4) - (6 - j8) = 18 - j24 + j24 +32 = 50

 

        ④ A ÷ B

 

 

5. 복소수의 극형식(직각좌표와 극좌표)

    - 복소수를 극좌표 형식으로 표현해 보자

       A점은 a + jb이다. 여기서 a는 삼각함수에서 cos에 해당하고 b는 사인에 해당하는 것을 떠올리면 된다. 절대값 A는 피타고라스의 정리와 같다. $tan\, \theta$에서 $\theta$에 대하여 정리하면 된다.

    

   

복소수의 극형식 표기 (위 그림에서 A = a + b →  A = a + jb로 수정합니다.

    ■ 직각좌표 → 극좌표로 나타내기

 

 

6. 공학용 계산기 복소수 계산 방법

    - 아래 사이트 참고하세요.

[fx-570es plus] 공학용계산기 복소수 계산(허수와 페이저)