5분이면 수포자도 이해하는 행렬과 역행렬, 전기(제어공학, 전력공학) 기초 수학

안녕하세요. 여러분의 자격증 취득을 도와드리는 더불어숲 입니다. 이번 시간에는 전기 기초 수학 중 행렬과 역행렬에 대해 말씀드리겠습니다. 행렬과 역행렬은 전기의 모든 과목에서 매우 기초가 되는 중요한 부분입니다. 특히 제어공학 및 전력공학에서 중요하게 다뤄지고 있습니다. 역행렬은 제어공학에 비중이 크다고 볼 수 있습니다.

 

행렬은 수학에서 중요한 개념으로, 여러 숫자나 문자를 정사각형 또는 직사각형으로 배열한 것을 말합니다. 행렬은 행(row)과 열(column)로 구성되며, 각각의 행과 열에 위치한 값을 원소 또는 성분이라고 합니다. 행렬은 다양한 수학적 연산을 가능하게 하며, 이러한 연산은 수학뿐만 아니라 물리학, 경제학, 컴퓨터 공학 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

 

전기 분야에서 행렬은 여러 영역에서 활용됩니다. 특히 전기 회로 이론에서 행렬은 중요한 도구로 사용됩니다. 예를 들어, 회로의 상태를 표현하거나, 회로의 동작을 분석하거나 예측하는 데 행렬이 사용됩니다. 또한, 전기 회로의 복잡한 문제를 해결하는 데 행렬이 사용되며, 이는 회로의 다양한 요소와 상호 작용을 쉽게 계산하고 이해할 수 있게 합니다.

 

따라서 행렬은 그 자체로 중요한 수학적 도구이며, 전기 분야에서도 중요한 역할을 합니다. 이러한 이유로 행렬에 대한 이해는 전기 공학자에게 필수적인 기술입니다.

 

 

 

오늘 공부할 내용과 함께 보면 이해력을 배가 시키는 내용입니다. 먼저 공부하고 오실 것을 추천드립니다.

1. 기초 수학_단위 체계 및 단위 변환, 전자기학

2. 원의 면적과 원통의 체적 계산(전자기학) 완전정복, 전기 공부한다면 반드시 알아야 할 내용

3. 5분이면 수포자도 이해되는 삼각함수, 전기(공사)기사 합격보장하는 삼각함수의 기본 개념과 활용방법 ①

4. 5분이면 수포자도 이해되는 삼각함수, 상제관계 역수관계 제곱관계, 삼각함수 가법(덧셈, 뺄셈, 곱셈) 정리 ②

5. 수포자도 5분이면 이해되는 전기 기초수학 복소수 정복하기

 

 

 

행렬의 기본 개념과 표현방법

 

행렬이란 숫자나 문자 등을 가로줄과 세로줄로 배열한 것입니다. 가로줄을 행(row), 세로줄을 열(column)이라고 하고, 행과 열의 개수로 행렬의 크기(size)를 나타냅니다. 예를 들어, 다음과 같은 행렬은 2행 3열의 행렬이고, 크기는 2 x 3이라고 표현합니다.

\begin{bmatrix}
1 &  2&  3\\
4 &  5&  6\\
\end{bmatrix}

 

행렬의 각 요소는 행과 열의 위치로 표시하고, 행렬 전체는 대문자로 표현합니다. 예를 들어, 위의 행렬을 A라고 하면, 첫 번째 행의 두 번째 열에 있는 요소는 $a_{12}$로 표시하고, 값은 2입니다.

행렬의 표현 방법

 

 

행렬의 크기 계산

 

행렬의 크기는 행렬식(determinant)으로 표현하고, 행렬식의 절댓값을 취해서 계산합니다. 행렬식은 행렬의 대각선 방향의 요소들의 곱셈을 더하거나 빼는 방법으로 구할 수 있습니다.  

 

1. 2 × 2 행렬의 크기 계산 방법

2×2 행렬은 A = ad - bc의 공식을 통해 쉽게 구할 수 있습니다. 아래 그림을 참조하면 이해가 빠를 것입니다.

$$\begin{bmatrix} a &  b \\ c &  d \end{bmatrix} = ad - bc$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = 1×4 - 2×3 = -2$$

행렬의 곱셈 계산 방법

 

2. 3 × 3 행렬의 계산 방법

2×2 행렬에 비해 3×3 행렬은 간단치가 않습니다. 일반적인 풀이 법은 복잡하고 수포자를 더욱 수포의 길로 안내하는 경우가 많습니다. 3×3 행렬의 곱셈 계산 방법은 아래 그림만 기억하면 됩니다.

3×3 행렬 곰셈 계산 방법

위 그림을 보면 아시겠지만 3×3 행렬의 곱셈 계산 방법은 이렇게 하면 아주 간단해집니다. 고민하지 마시고 행렬의 1열과 2열의 내용을 3열의 오른쪽에 붙여 넣기 해주면 됩니다. 그러면 그림과 같이 됩니다. 그리고 가운데에 마이너스$(-)$를 넣고 행렬을 우측과 같이 만들어 줍니다. 이렇게 하면 계산 준비 끝입니다.

 

첫 번째는 좌측 3개의 빨간색 선에 높여 있는 요소(숫자)들을 곱한 후 더해줍니다.

$$(1 × 5 × 9) + (2 × 6 × 7) + (3 × 4 × 8)$$

 

두 번째는 마이너스$(-)$를 줍니다.

 

세 번째는 우측 3개의 파란색 선에 높여 있는 요소(숫자)들을 곱한 후 더해줍니다.

$$(3 × 5 × 7) + (1 × 6 × 8) + (2 × 4 × 9)$$

 

네 번째는 이 식에 따라 좌측 값을 우측값으로 빼주면 됩니다.

$$[(1 × 5 × 9) + (2 × 6 × 7) + (3 × 4 × 8)] - [(3 × 5 × 7) + (1 × 6 × 8) + (2 × 4 × 9)] = 0$$

 

 

 

 

행렬의 연산

 

1. 행렬의 덧셈과 뺄셈

행렬의 덧셈과 뺄셈은 같은 자리의 요소끼리 더하거나 빼면 됩니다. 단, 덧셈과 뺄셈을 할 때는 두 행렬의 크기가 같아야 합니다. 방법은 단순히 각 행렬에서 같은 행과 열 위치의 요소를 더하면 됩니다. 아래 내용을 보면 바로 알 수 있기 때문에 덧셈과 뺄셈의 행렬 연산은 특별한 설명을 하지 않겠습니다.

 

예를 들어, 다음과 같은 두 행렬의 덧셈과 뺄셈은 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\begin{align*}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+\,
\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}=\,
\begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix}=\,
\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}
\end{align*}

\begin{align*}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}-\,
\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}=\,
\begin{bmatrix} 1 - 5 & 2 - 6 \\ 3 - 7 & 4 - 8 \end{bmatrix}=\,
\begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}
\end{align*}

 

2. 행렬의 곱셈

행렬의 곱셈은 행과 열의 위치를 바꾸고, 곱한 후 더하는 방법으로 합니다. 행렬의 곱셈은 "A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 같을 것"이라는 조건이 성립해야 합니다. 즉, [2×3]과 [3×2]인 행렬은 행과 열 조건을 충족해 곱셈이 가능하지만, [2×3]과 [2×3]인 행렬은 곱셈이 불가능합니다. 

 

아래 그림을 참조하면 이해가 빠를 것입니다. 좌측 그림을 보면 앞 행렬의 열의 개수가 3개, 우측 행렬의 행의 개수가 3개로 같아 계산이 가능합니다. 하지만 우측을 부면 좌측 행렬의 열의 개수는 3개, 우측 행렬의 행의 개수는 2개로 짝을 이루지 않아 계산이 불가능합니다.

행렬의 곱셈 연산 조건

 

예를 들어, 다음과 같은 두 행렬의 곱셈은 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

\begin{align*}
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\times \,
\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}= \,
\begin{bmatrix} 1×5 + 2×7 & 1×6 + 2×8 \\ 3×5 + 4×7 & 3×6 + 4×8 \end{bmatrix}= \,
\begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}
\end{align*}

순서가 조금 복잡해 보이지만 아래 그림을 참조하면 어렵지 않게 이해될 것입니다.

2×2 행렬 곱셈 방법

2×2 행렬 곱셈 방법

 

 

 

행렬의 역행렬

 

역행렬은 숫자의 역수와 비슷한 개념입니다. 어떤 수 a와 곱했을 때 결과 값이 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오게 하는 수를 a의 역수라고 합니다. a의 역수는 $a^{-1}$ 입니다.

 

어떤 행렬 A와 곱했을 때 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬 E가 나오게 하는 행렬을 A의 역행렬이라고 합니다. 이것은 기호로 $A^{-1}$라고 쓰고, A inverse라고 읽습니다.

 

즉 역원을 숫자는 역수라고 하며, 행렬은 역행렬이라고 합니다. 참고로 숫자는 $a^{-1} = \frac{1}{a}$인데 반하여 행렬에서는 $A^{-1}$은 $\frac{1}{A}$라고 하지 않는 것에 주의해야 합니다.

 

1. 역행렬의 특징

     ① 기호 : $A^{-1}$, A inverse (A 인버스)

     ② 역원 : 숫자의 역수는 역수, 행렬의 역원은 역행렬

     ③ 행렬 곱셈의 교환법칙 불성립 : AB ≠ BA

     ④ 역행렬과의 곱셈 : $AA^{-1} = A^{-1}A = E$ (단, A와 A-1은 같은 크기의 n차 정사각행렬)

 

 

2. 항등행렬이란 

역행렬(inverse matrix)은 행렬과 곱했을 때 항등행렬(identity matrix)이 되는 행렬입니다. 항등행렬이란 대각선 방향의 요소가 1이고, 나머지 요소가 0인 행렬입니다. 예를 들어, 다음과 같은 행렬은 항등행렬입니다.

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}  

 

역행렬의 계산은 행렬식의 크기와 분자를 구하고, 분자의 요소의 위치를 바꾸고 부호를 바꾸는 방법으로 합니다. 예를 들어, 다음과 같은 행렬의 역행렬은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

\begin{align*}
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad - bc}\,
\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
\end{align*}

 

역행렬은 행렬의 크기가 0이 아닐 때만 존재합니다. 즉, 행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않습니다. 역행렬은 행렬의 성질을 이용해서 행렬 방정식을 풀거나, 행렬의 변환을 되돌리는 등의 용도로 사용할 수 있습니다. 자세한 내용은 아래와 같습니다.

 

    ★ 역행렬 공식

\begin{align*}
A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}에 대하여
ad - bc \neq 0이면 A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
\end{align*}

ad - bc = 0이면 행렬 A의 역행렬은 없다.

 

위의 역행렬 공식을 보면 a와 d는 자리(위치)를 바꿨고, b와 c는 부호를 반대로 바꿨음을 알 수 있습니다. 더불어 ad - bc를 행렬식(D : eterminant)이라 하고, 대문자 D = ad - bc로 나타냅니다. D ≠ 0이면 역행렬이 있고, D = 0이면 역행렬이 없습니다.

 

    ▶ 다음 행렬에서 역행렬 유무를 말하고, 역행렬이 존재하는 경우 역행렬을 구하시오

\begin{align*}
① A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
② B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}
\end{align*}

        ①은 D = ad - bc = (1×4) - (2×3) = -2 ≠ 0으로 역행렬이 존재합니다.

\begin{align*}
A^{-1}=\frac{1}{ad - bc}= \frac{1}{-2}\,
\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}
\end{align*}

        ②는 D = ad - bc = (2×6) - (3×4) = 0으로 역행렬이 존재하지 않습니다. 

 

    아래를 보시면  더욱 이해가 빨을 것입니다.

역행렬 계산 방법

\begin{align*}
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 &4 \end{bmatrix} \\
A^{-1} = \frac{1}{1\times 4 - 2\times 3} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\end{align*} 

\begin{align*}
\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\times 4 & -\frac{1}{2}\times -2 \\ -\frac{1}{2}\times -3 &  -\frac{1}{2}\times 1 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}
\end{align*}

 

 

 

문제로 익히고 실력 다지기

 

1. 다음 행렬식의 역행렬을 구하시오

\begin{align}
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}
C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}
\end{align}

\begin{align}
A^{-1} = \frac{1}{1\times 2 - 1\times 0}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}
\end{align}

\begin{align}
B^{-1} = \frac{1}{2\times 3 - 1\times 2}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.75 & -0.25 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix}
\end{align}

\begin{align}
C^{-1} = \frac{1}{0\times 3 - 1\times 2}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.5 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\end{align}

 

2. 다음 행렬식의 역행렬을 구하시오

\begin{align}
A = \begin{bmatrix} S & -1 \\ 0 & S \end{bmatrix}
B = \begin{bmatrix} S & -1 \\ 2 & S+3 \end{bmatrix}
C = \begin{bmatrix} S & -1 \\ 1 & S+2 \end{bmatrix}
\end{align}

\begin{align}
A^{-1} = \frac{1}{S\times S - (-1)\times 0} = \frac{1}{S^2} \begin{bmatrix} S & 1 \\ 0 & S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{S} & \frac{1}{S^2} \\ 0 & \frac{1}{S} \end{bmatrix}
\end{align}

\begin{align}
B^{-1} = \frac{1}{S\times (S+3)- (-1)\times 2} = \frac{1}{S(S+3)+2} \begin{bmatrix} S+3 & 1 \\ -2 & S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{S+3}{S(S+3)+2} & \frac{1}{S(S+1)+2} \\ \frac{-2}{S(S+3)+2} & \frac{S}{S(S+3)+2} \end{bmatrix}
\end{align}

\begin{align}
C^{-1} = \frac{1}{S\times (S+2)-(-1)\times 1} = \frac{1}{S(S+2)+1} \begin{bmatrix} S+2 & 1 \\ -1 & S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{S+2}{S(S+2)+1} & \frac{1}{S(S+2)+1} \\ \frac{-1}{S(S+2)+1} & \frac{S}{S(S+2)+1} \end{bmatrix}
\end{align}

 

 

지금까지 5분이면 수포자도 이해하는 행렬과 역행렬, 전기(제어공학, 전력공학) 기초 수학에 대해 말씀드렸습니다. 내용이 복잡해 보이지만 가능한 쉽게 이해할 수 있도록 축약을 자제하고 풀어 말씀드렸습니다. 특히 역행렬은 전기 제어공학에서 모르면 절대 해를 찾을 수 없습니다. 반드시 오늘 포스팅 내용만은 이해하고 계시길 바랍니다. 분명히 좋은 결과 있을 것입니다. 여러분의 합격을 축하드립니다. 늘 감사합니다.