5분이면 수포자도 이해되는 전기기초수학 미분

안녕하세요. 더불어숲 입니다. 전기 관련 자격증을 취득하기 위해서는 반드시 넘어야 할 관문이 있습니다. 짐작하셨겠지만 바로 수학입니다. 대다수 사람들은 '수포자'라는 딱지를 달고 삽니다. 저 또한 그렇습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 해야 하기에 준비했습니다. 5분이면 수포자도 이해되는 전기기초수학 『미분』입니다. 전기 관련 시험을 보는데 무리 없고, 60점 이상만 받을 수 있는 수준으로 준비했습니다.

 

미분은 전기 관련 모든 과목에서 매우 기초가 되는 중요한 부분입니다. 이중에서도 전자기학과 전기회로이론에서 가장 많이 접하게 되는 부분입니다. 미분은 함수의 변화율을 나타내는 것으로, 전기회로에서 필요한 미분식을 쉽게 구할 수 있습니다. 미분의 정의와 일반 함수, 삼각함수, 지수함수, 분수함수의 미분법을 예제와 함께 설명하겠습니다.

 

 

 

 

미분의 정의와 일반 함수(상수)의 미분법

 

미분은 함수의 변화율을 나타내는 것입니다. 즉, 함수의 기울기를 구하는 것이라고 생각하면 됩니다.

 

1. 일반 함수의 미분법

     ① 상수의 미분은 언제나 '0'입니다.

           $\frac{d}{dx} C = (c)' = 0$

 

     ② x의 n승의 미분은 n을 앞으로 내리고 n-1승이 됩니다. 

           $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$

 

     ③ 미분 기호는 $\frac{dy}{dx}$ 또는 $y'$로 쓸 수 있습니다.

 

 

2. 예제로 익히기

     - 다음을 미분하시오

        $y' = 3x^2 + 5x - 2$

 

       이 함수의 미분은 다음과 같습니다.

       $\frac{dy}{dx} = 6x + 5$

 

 

3. 암기 포인트

     - 상수의 미분 : $\frac{d}{dx} c = (c)' = 0$

     - 함수의 미분 : $\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$

 

 

 

 

분수 함수의 미분법

 

1. 분수함수의 미분법 

     ① 분수함수의 미분은 분모의 제곱 아래에 분자의 미분과 분모의 곱에서 분자와 분모의 미분의 곱을 빼줍니다. 즉, $$\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

 

     ② 분수함수의 미분은 분자와 분모의 곱의 미분에서 분자의 미분과 분모의 곱을 빼줍니다. 즉,

$$\frac{d}{dx}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{d}{dx}(f(x)g(x)^{-1}) = f'(x)g(x)^{-1} - f(x)(-1)g(x)^{-2}g'(x)$$

 

 

2. 예제로 익히기 

     - 다음을 미분하시오 

        $y' = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

 

        이 함수의 미분은 다음과 같습니다.

        $\frac{dy}{dx} = \frac{(x - 1)(2x) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$

 

 

3. 암기포인트 

     - 분수 함수의 미분 : $\frac{d}{dx} (\frac{y}{x}) = \frac{y'x - x'y}{x^2}$

 

 

 

삼각함수의 미분법

 

1. 삼각함수의 미분법

     ① 사인의 미분은 코사인이고, 코사인의 미분은 사인입니다.

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$$

$$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$

 

     ② 삼각함수 앞에 상수가 있으면 미분할 때 앞으로 튀어나옵니다. 즉,

$$\frac{d}{dx}a\sin x = a\cos x$$

$$\frac{d}{dx}a\cos x = -a\sin x$$

 

 

2. 예제로 익히기

     - $y' = 2\sin x + \cos 2x$

 

        이 함수의 미분은 다음과 같습니다.

         $\frac{dy}{dx} = 2\cos x - 2\sin 2x$

 

 

3. 암기포인트 

     - 삼각함수의 미분

        ① $\frac{d}{dx} \sin ax = a \cos ax$

        ② $\frac{d}{dx} \cos ax = -a \sin ax$

 

 

 

지수함수의 미분법

 

1. 지수함수의 미분법

     ① 지수함수의 미분은 지수함수 그대로 쓰고 앞에 상수만 튀어나옵니다.

$$\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$$

 

     ② 지수함수의 미분은 가장 쉬운 미분입니다.

 

2. 예제로 익히기

     - $y' = 3^x + e^x$

 

        이 함수의 미분은 다음과 같습니다.

        $\frac{dy}{dx} = 3^x\ln 3 + e^x$

 

 

3. 암기 포인트

     - $\frac{d}{dx} e^{ax} = a\,e^{ax}$

 

 

 

반드시 암기할 사항 정리

 

1. 일반 함수의 미분

     ① 상수의 미분 : $\frac{d}{dx} c = (c)' = 0$

     ② 함수의 미분 : $\frac{d}{dx} (x˝) = nx^{n-1}$

     ③ 분수의 미분 : $\frac{d}{dx} (\frac{y}{x}) = \frac{y'x - x'y}{x^2}$

 

2. 삼각함수의 미분 :  

      ① $\frac{d}{dx} \sin ax = a \cos ax$

      ② $\frac{d}{dx} \cos ax = -a \sin ax$

 

3. 지수 함수의 미분 : $\frac{d}{dx} e^{ax} = a\,e^{ax}$

 

 

 

연습문제로 미분 익히기

 

★ 0과 1이 지수일 경우 표기하지 않지만 헷갈려하는 분들을 위해 표기한 것이니 이 점 유의하여 주시기 바랍니다.

 

아래 연습문제는 자동으로 답이 나올 수 있도록 여러분 연습하시기 바랍니다. 

 

1. 연습문제 1

    ① $(y)' = 3$

         $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \,3 = 0$

 

    ② $(y)' = 100$

         $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \,100 = 0$

 

    ③ $(y)' = 3x$

         $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\,3x^1 = 3\times 1 \, x^{1-1} = 3x^0 = 3$

 

    ④ $(y)' = 12x$

         $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\,12x^1 = 12\times 1 \, x^{1-1} = 12x^0 = 12$

 

    ⑤ $(y)' = 3x + 1$

         $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\,(3x^1 + 1) = 3\times 1 \, x^{1-1} + 0 = 3$

 

 

2. 연습문제 2 

     ① $(y)' = x^2 + 2x + 1 = \frac{d}{dx}\,( x^2 +2 x + 1) = 2x^1 + 2x^0 + 0 = 2x + 2$

     ② $(y)' = 3x^2 + 4x + 2 = \frac{d}{dx}\,( 3x^2 + 4x + 2) = 6x^1 + 4x^0 + 0 = 6x + 4$

     ③ $(y)' = 2x^2 + x + 4 = \frac{d}{dx}\,( 2x^2 + x + 4) = 4x^1 + 1x^0 + 0 = 4x + 1$

     ④ $(y)' = x^3 + 2x^2 + x + 2 = \frac{d}{dx}\,( x^3 + 2x^2 + x + 2) = 32x^2 + 4x^1 + 1x^0 = 3x^2 + 4x + 1$

     ⑤ $(y)' = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 3 = \frac{d}{dx}\,(2 x^3 + 3x^2 + 4x + 3) = 6x^2 + 6x^1 + 4x^0 + 0 = 6x^2 + 6x^1 + 4$

 

 

3. 연습문제 3

★ 삼각함수의 미분 풀이는 아래 내용을 암기해 두세요. 문제 풀이에 재미가 더해집니다.

삼각함수 미분 풀이 법칙

 

     ① $i(t)' = 10 \sin 2t = \frac{d}{dt} \, (10 \sin 2t) = 10 \times 2 \cos 2t = 20 \cos 2t$

     ② $i(t)' = 100 \cos ωt = \frac{d}{dt} \, (100 \cos ωt) = -100 \, ω \sin ωt$

     ③ $ν(t)' = 10 \sin ωt = \frac{d}{dt} \, (10 \sin ωt) = 10 \, ω \cos ωt$

    ④ $ν(t)' = 100 \cos ωt = \frac{d}{dt} \, (10 \cos ωt) = -100 \, ω \sin ωt$

 

 

4. 연습문제 4

★ 지수함수의 미분 풀이는 아래 내용을 암기해 두세요. 문제 풀이에 재미가 더해집니다.

지수함수는 이것만 기억하세요. ① 그대로 쓰자! ② 숫자를 앞으로 빼주면 된다.

지수함수의 풀이 방법

 

     ① $i(t)' = e^{-2t} = \frac{d}{dt}\,(e^{3t}) = 3e^{3t}$

     ② $i(t)' = 10e^{-2t} = \frac{d}{dt}\,(10e^{-2t}) = -2\times 10e^{-2t} = -20e^{-2t}$

     ③ $\nu (t)' = -20e^{-3t} = \frac{d}{dt}\,(-20e^{-3t}) = -3\times -20e^{-3t} = 60e^{-3t}$

     ④ $\nu (t)' = 10e^{-at} = \frac{d}{dt}\,(10e^{-at}) = -a\times 10e^{-at} = -10ae^{-at}$

 

 

5. 연습문제 5

분수 함수는 제어공학에서 많이 사용됩니다. 

★ 분수 함수의 미분 풀이는 아래 내용을 암기해 두세요. 문제 풀이에 재미가 더해집니다.

 

     - 분수의 미분 공식 : $\frac{d}{dx} (\frac{y}{x}) = \frac{y'x - x'y}{x^2}$

 

     ① $(y)'= \frac{1}{x}= \frac{1}{dx} \,(\frac{1}{x}) = \frac{0 \times x - 1 \times 1}{x^2} = \frac{-1}{x^2}$

 

     ② $(y)'= \frac{1}{x^2}= \frac{1}{dx} \,(\frac{1}{x^2}) = \frac{0 \times x^2 - 2x \times 1}{(x^2)^2} = \frac{-2}{x^3}$

 

     ③ $(y)'= \frac{3x}{(x+1)^2}= \frac{1}{dx} \,(\frac{3x}{(x+1)^2}) = \frac{3 \times (x+1)^2 - 2(x+1) \times 3x}{(x+1)^4} = \frac{3x+3 - 6x}{(x+1)^3}=\frac{-3x+3}{(x+1)^3}$

 

     ④ $(y)'= \frac{3x^2}{(x+1)^3}= \frac{1}{dx} \,(\frac{3x^2}{(x+1)^3}) = \frac{6x \times (x+1)^3 - 3(x+1)^2 \times 3x^2}{(x+1)^6} = \frac{6x^2+6x-9x^2}{(x+1)^4}=\frac{-3x^2+6x}{(x+1)^4}$

 

 

 

기출문제로 감(感)잡기

 

1. 기출문제

     - 다음 함수의 미분을 구하시오. 

$$y = \frac{1}{x^2 + 1}$$ 

     - 정답: $$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$

 

     - 해설 : 분수함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + 1)(0) - (1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$

 

이 문제는 분수함수의 미분법을 알고 있으면 쉽게 풀 수 있습니다. 분수함수의 미분법은 분모의 제곱 아래에 분자의 미분과 분모의 곱에서 분자와 분모의 미분의 곱을 빼주는 것입니다. 이 문제에서는 분자가 상수이므로 미분하면 0이 되고, 분모는 x의 2승이므로 미분하면 2x가 됩니다. 그러면 분모의 제곱 아래에 0과 2x의 곱에서 1과 2x의 곱을 빼주면 됩니다. 그렇게 하면 정답을 구할 수 있습니다.

 

 

2. 기출문제

     - 다음 함수의 미분을 구하시오. 

$$y = \sin x \cos x$$ 

     - 정답: $$\frac{dy}{dx} = \cos^2 x - \sin^2 x$$

 

     - 해설 : 삼각함수의 미분법과 곱의 미분법을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

$$\frac{dy}{dx} = (\sin x)' \cos x + \sin x (\cos x)' = \cos x \cos x - \sin x (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

 

 

3. 기출문제

    - 다음 함수의 미분을 구하시오. 

$$y = e^{2x} + 3^x$$ 

     - 정답 : $$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} + 3^x \ln 3$$

     - 해설 : 지수함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

$$\frac{dy}{dx} = (e^{2x})' + (3^x)' = 2e^{2x} + 3^x \ln 3$$

 

 

미분은 전기에서 매우 기초가 되는 중요한 부분입니다. 미분을 잘 활용하면 전기회로에서 필요한 미분식을 쉽게 구할 수 있습니다. 이상으로 미분의 기초에 대해 알아보았습니다. 미분은 전기 관련 시험에서 자주 출제되는 주제이므로, 잘 이해하고 연습해야 합니다. 전기 관련 시험을 준비하시는 분들에게 도움이 되었으면 좋겠습니다. 여러분의 합격을 기원합니다.