수학만큼 기억에서 빨리 휘발되는 것도 없는 것 같습니다. 중고등학생인 자녀에게 물어보기도 그렇고... 그럼에도 불구하고 전기 직종 자격증을 취득하기 위해서는 반드시 넘어야 할 산입니다. 이번 시간에는 이런 분들의 속을 시원하게 뚫어들이기 위해 준비했습니다. 다름 아닌 "인수분해"입니다.
하나의 다항식을 2개 이상의 다항식의 곱의 꼴로 나타낼 때 이들 각각의 식을 다항식의 인수라고 하고, 하나의 다항식을 2개 이상의 인수의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 한다. 즉, 인수는 곱으로 연결된 각각의 수를 말하고, 분해는 2개 이상의 인수의 곱으로 나타낸 것을 말합니다. 이것을 "인수분해"라고 합니다.
인수분해는 수학에서 매우 중요한 개념 중 하나입니다. 특히 전기 직종과 같은 기술 분야에서는 회로이론 및 제어공학에서 필수적이라 할 수 있습니다. 하지만 걱정 마세요! 여기 몇 가지 단계를 따라하면 인수분해를 쉽게 이해할 수 있습니다.
합의 제곱, 제곱의 합, 차의 제곱에 대한 인수분해
인수분해 이보다 쉬울수는 없습니다. 그림만 기억하세요. 수포자를 수학에 심취하게 하는 마력을 가지고 있는 그림입니다.
위 그림만 기억하세요. 인수분해는 자동으로 풀려서 보이게 됩니다. 즉, 합은 차보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 위 그림은 아래와 같은 내용을 담고 있습니다.
① 합의 제곱, 제곱의 합, 차의 제곱의 크기는 그림과 같이 합의 제곱 > 제곱의 합 > 차의 제곱 입니다.
② 합의 제곱과 제곱의 합 2ab, 제곱의 합과 차의 제곱 2ab, 합의 제곱과 차의 제곱은 4ab의 차의 관계가 성립합니다.
▶ 문제로 익히기
- 등호의 좌우를 같게 하려면 어떻게 할까를 고민하고 위 그림을 보세요. 답이 그냥 보입니다.
① $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
② $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$
③ $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$
④ $(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2$
⑤ $(a +b)^2 - 2ab = a^2 + b^2$
⑥ $a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$
합의 세제곱과 세제곱의 합, 세제곱의 차와 차의 세제곱의 인수분해
▶ 문제로 익히기
- 등호의 좌우를 같게 하려면 어떻게 할까를 고민하고 위 그림을 보세요.
① $(a+b)^3 = a^3+b^3 + 3ab(a+b)$
② $(a+b)^3 -3ab(a+b) = a^3+b^3$
③ $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$
④ $a^3-b^3 -3ab(a-b) = (a-b)^3$
1차를 3번 거듭 곱한 3차인 경우의 인수분해
x에 대하여 내림차순으로 적고, 상수항인 a, b, c는 올림차순으로 하여 조합하면 식이 완성됩니다.
① x에 대하여 내림차순으로 그림과 같이 표기합니다.
② a, b, c는 상수항으로 그림과 같이 올림차순으로 표기합니다.
③ ①과 ②를 조합하면 ③과 같은 식이 완성됩니다.
▶ 문제로 익히기
① (x-a) (x-b) (x-c)
= 1$x^3$ + -(a+b+c)$x^2$ + (ab+bc+ca)$x$ + -(abc) 1
② (2-a) (2-b) (2-c)
= $2^3$ + -(a+b+c)$2^2$ + (ab+bc+ca) 2 + -(abc) 1
(a+b)(b+c)(c+a)와 같이 순환하는 경우의 인수분해
1. (a+b) (b+c) (c+a) → a+b+c = x로 치환 후 계산합니다. 이것을 정리하면 아래와 같습니다.
a+b = x-c, b+c = x-a, c+a = x-b 가 되므로
= (x-c) (x-a) (x-b)가 됩니다. ← 이렇게 식을 고치면 위 3번에서 말씀드린 식이 되었습니다. ^^
2. 이제 문제는 간단해졌습니다.
(x-c) (x-a) (x-b)를
① x에 대하여 내림차순으로 정리합니다.
② -a, -b,-c를 오름차순으로 정리하여 식을 완성합니다.
= 1$x^3$ + -(a+b+c)$x^2$ + (ab+bc+ca)$x$ + -(abc)1
③ 여기서 x는 애초에 없는 문제이므로 x를 없애기 위해 x대신 (a+b+c)로 치환해 줍니다. 또 $x^3$과 $x^2$항의 $x$를 없애기 위해 $-x$를 해주고 정리하면 아래와 같이 식이 만들어지게 됩니다.
= $x^3$ + -xㆍ$x^2$ + (ab+bc+ca)(a+b+c) + -(abc)1
④ 위와 같이 하면 $x$가 소거 되고 최종 식이 완성됩니다.
= (a+b+c) (ab+bc+ca) -abc
3. (a+b) (b+c) (c+a)와 같이 순환하는 경우의 인수분해는 아래와 같이 암기하길 바랍니다.
= 1차 × 2차 - 3차
(a+b+c) (ab+bc+ca) -abc
3차식의 인수분해
3차식을 1차 × 2차의 형태로 변환하면 됩니다. 즉, 아래와 같이 하면 끝!!! 차~암 쉽죠~~잉!!!
① $(a^3+b^3)$ = 1차 $(a+b)$ × 2차$(a^2+b^2)$
= $(a+b)$$(a^2 -ab +b^2)$
② $(a^3-b^3)$ = 1차 $(a-b)$ × 2차$(a^2-b^2)$
= $(a-b)$$(a^2 +ab +b^2)$
2차의 합 - 2차의 합인 경우의 인수분해
2차의 합 - 2차의 합인 경우의 인수분해는 곧바로 되지 않기 때문에 『×2 ÷2』라는 치트키를 활용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
위와 같이 정리하면 아래와 같은 깔끔한 식이 완성됩니다. ()는 ×2를 해주고, () 밖은 ÷2를 해주는 것이 키포인트입니다. 이렇게 하는 이유는 ()를 완전제곱식으로 만들기 위해서입니다.
$$= \frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab -2bc -2ca)$$
괄호가 완전제곱식이 되는 이유는 아래 식을 보면 이해가 빠를 것입니다.
$$= \frac{1}{2}(a^2-2ab +b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)$$
위의 식을 통해 완전제곱식이 보이세요? 보여야 하는데... ^^ 그럼... 정리된 식을 보시겠습니다.
$$= \frac{1}{2}\left\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}$$
여러분의 이해를 돕기 위해 아래와 같이 그림으로 정리해 보았습니다. 이해가 가시죠? ^^
▶ 보충설명
① 2차의 합 - 2차의 합 = 완전제곱식의 합 (①은 무조건 암기하세요)
$$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}\left\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}$$
② 3차의 합 - 3차의 합 = 2차의 합 - 2차의 합 = 완전제곱식의 합에 (a+b+c)만 추가하면 된다.
$$a^3+b^3+c^3-3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)\left\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}$$
③ 즉, 【1차 × (2차 - 2차) = 3차 - 3차】가 됨을 알 수 있습니다.
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca)$
$= a^3+b^3+c^3-3abc$
$= \frac{1}{2}(a+b+c)\left\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}$
여기서 공부 방법은 등호를 중심으로 좌에서 우로, 우에서 좌로 전개할 수 있도록 충분한 연습을 해주시기 바랍니다.
문제로 연습하고 익히기
① $x^3-1^3$
$= (x-1)(x^2+x+1)$
② $x^3+1^3$
$= (x+1)(x^2-x+1)$
③ $x^2+y^2+z^2$
$= (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$
이 문제는 제곱의 합 = 합의 제곱으로 만들고, 합의 제곱이 더 크므로 등호의 좌우를 같게 하기 위해서 빼주는 것이 키포인트입니다.
④ $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$
$= = \frac{1}{2}\left\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}$
이 문제는 "2차의 합 - 2차의 합 = 완전제곱식의 합"이라고 위에서 배운 것을 끄집어내시면 됩니다.
⑤ $a^2+b^3+c^3-3abc$
$= \frac{1}{2}(a+b+c)\left\{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}
이것은 "3차의 합 - 3차의 합 = 2차의 합 - 2차의 합의 인수분해 한 것에 1차만 곱해주면 됩니다.
⑥ $x^4+x^2y^2+y^4$
$= (x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$
이 문제는 차수가 4,2,2,4와 같이 짝수로 되어 있는 복이차식입니다. 이런 경우는 차수를 반으로 나눌 수 있습니다. 즉, 4,2,2,4 → 2,1,1,2로 만들어주면 문제는 쉽게 풀리게 되는 것입니다.
⑦ $a^2-b^2$
$= (a+b)(a-b)$
⑧ $(a+b)(b+c)(c+a)$
$= (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
헤드라인문제를 통해 개념 완전히 이해하기(빈칸을 드래그하세요)
1. 다음 문제의 등로 좌우를 같게 하기 위해서 빈칸을 채우세요. (빈칸을 드레그해 보세요)
| $$a^3-b^3$$ | $$-3ab(a-b)$$ | = | $$(a-b)^3$$ |
| $$(a+b)^2$$ | $$-4ab$$ | = | $$(a-b)^2$$ |
| $$a^2-b^2$$ | $$-2ab$$ | = | $$(a-b)^2$$ |
| $$(a+b)^2$$ | = | $$(a-b)2$$ | $$+4ab$$ |
| $$(a+b)^3$$ | = | $$a^3+b^3$$ | $$+3ab(a+b)$$ |
2. 다음 식을 곱의 함수로 만들어보세요
| $$S^2+2S+1$$ | = | $$(s+1)^2$$ |
| $$s^2+6S+9$$ | = | $$(s+3)^2$$ |
| $$s^2-2S+1$$ | = | $$(s-1)^2$$ |
| $$s^2-6S+9$$ | = | $$(s-1)^2$$ |
3. 다음을 인수분해 하시오
- 이런 유형의 문제는 구구단처럼 풀 수 있습니다. 0차의 수에 답이 있습니다. 즉, 곱해서 이 수를 만들면 됩니다.
| $$s^2+3S+2$$ | = | $$(s+1)(s+2)$$ |
| $$s^2+4S+3$$ | = | $$(s+1)(s+3)$$ |
| $$s^2+6S+5$$ | = | $$(s+1)(s+5)$$ |
| $$s^2+5S+6$$ | = | $$(s+2)(s+3)$$ |
| $$s^2+9S+18$$ | = | $$(s+3)(s+6)$$ |
오늘은 "5분이면 수포자도 이해되는 인수분해. 보기만 하면 기억되는 암기법 제공"에 대해 말씀드렸습니다. 인수분해의 해를 암기하려고 하지 마세요. 이 부분을 이해하면 좀 더 쉽게 공부할 수 있습니다. 공부한 지 오래되어 기억이 없을 뿐 금방 기억에서 끄집어낼 수 있을 것입니다. 오늘 배운 인수분해는 모든 과목에서 중요한 부분이지만 특히 회로이론 및 제어공학에서 비중 있게 다루어지고 있으므로 반드시 익혀두시길 바랍니다. 여러분의 자격증 시험 합격을 기원합니다. 감사합니다.
★ 이번포스팅은 다음 사이트를 참조하여 작성하였습니다. 인수분해를 이 보다 더 쉽게 설명할 수는 없을 것입니다. 여러분도 방문하여 인수분해 외에 여러 수학에 대해 공부하시면 더욱 좋을 것 같습니다.
- 유튜브 : 오공샘 [중 3-1 (고1) 인수분해, 곱셈공식] 인수분해 공식 저절로 외우기
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