5분이면 수포자도 이해되는 전기기초수학『라플라스 변환 및 역라스플라스 변환』제어공학과 회로이론 필수 이것만 알면 된다.

안녕하세요. 전기 직종(기사 및 산업기사 등) 자격증 취득을 위해 노력하는 수험생 여러분을 위해 노력하는 더불어숲 입니다. 이번 시간에는 제어공학과 회로이론에서 필수 이론인 라플라스 변환과 역라플라스 변환에 대해 저와 같이 공부해 보겠습니다.

 

라플라스 변환과 역라플라스 변환은 복잡한 미분방정식을 간단한 대수방정식으로 변환하여 해결하는 강력한 수학적 도구입니다. 이해를 돕기 위해, 먼저 기본 개념을 설명하고, 실제 전기기사 시험에 출제된 문제를 예로 들어 설명해 보겠습니다.

 

 

이번 시간에 배울 라플라스 변환과 역라플라스 변환을 공부하기 전 아래 내용을 먼저 학습하시면 더욱 좋은 공부가 될 것입니다.

    - 5분이면 수포자도 이해되는 『부분분수 전개』전기 제어공학 역라플라스 변환 필수 공식

 

 

 

라플라스 변환(Laplace Transform)

 

시간 함수 $f(t)$를 주파수 함수 $F(j\omega) = F(s)$로 변환하는 것

    - 제어장치는 시간 영역 보다 주파수 영역이 더 유용하게 사용되기 때문이다.

 

라플라스 변환은 시간 영역(time domain)의 함수를 s-영역(Laplace domain)의 함수로 변환합니다. 이 변환을 통해, 미분과 적분을 포함한 복잡한 연산을 간단한 곱셈과 나눗셈으로 바꿀 수 있습니다. 기본적인 라플라스 변환의 수학적 표현은 다음과 같습니다.

 

$$ L [f(t)] = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt $$

 

여기서 \( f(t) \)는 시간 영역의 함수이고, \( F(s) \)는 s-영역의 함수입니다. \( e^{-st} \)는 변환 과정에서 사용되는 지수 감쇄 함수입니다.

 

 

 

 

역라플라스 변환(Inverse Laplace Transform)

 

역라플라스 변환은 s-영역의 함수를 다시 시간 영역의 함수로 변환합니다. 이를 통해, 라플라스 변환으로 해결한 문제의 결과를 원래의 형태로 되돌릴 수 있습니다. 역라플라스 변환의 수학적 표현은 다음과 같습니다:

 

$$ L ^{-1}[F(s)] = f(t) $$

 

 

 

제어계에 필요한 각종 신호

 

1. 임펄스 함수 : $ L [\delta(t)] = 1$

     ① 물리적으로 존재하지는 않는 신호입니다.

     ② 연속 시간의 단위 임펄스 함수는 t=0 순간에만 존재하며 그 크기를 정의할 수 없습니다. 따라서 임펄스 함수의 세기(strength)를 나타낼 때는 함수의 값 대신 그 면적으로 나타냅니다. 화살표로 나타내고 세기를 함께 표시합니다.

 

     - $\int _{-\infty }^\infty  \delta (t)d(t) =1$

     - $\delta (t) \rightarrow \infty , t = 0$

     - $\delta (t) = 0 , t \neq  0$

     - $\delta (t) = 0 , \delta (-t)$

   

임펄스 함수 그래프

   

임펄스 함수의 다양한 표현 방법

 

 

 

2. 단위 계단 함수 : $u(t) =1$

    ① 단위계단함수(Unit Step Function)는 특정 지점 이후에는 1, 그 이전에는 0인 함수입니다. 기준점은 0이지만, 평행이동을 통해 a를 기준으로 할 수도 있습니다. 이 경우, 함수는 u(t-a)로 표현되며, a 이전과 이후에 0과 1이 됩니다.

 

    ② 단위계단함수(Unit Step Function)는 공학에서 on, off에 사용됩니다. t를 시간으로 두면, 0초(혹은 a초) 이후부터는 켜짐, 0초 이전에는 꺼짐 상태로 둘 수 있습니다. 이 특성을 이용하여 어떤 함수에 Unit Step Function을 곱하면, 원하는 시점에서만 그래프가 나타나게 할 수 있습니다. 이는 신호처리에 사용됩니다.

 

    ③ 단위계단함수 u(t-a)는 다음과 같이 정의됩니다.

$$u(t) = \left\{\begin{matrix}
0, & t < 0 일 때 \\
1, & t > 0 일 때 \\
\end{matrix}\right.$$

         $a = 0$ 즉 $u(t)$의 경우 아래와 같은 그래프입니다.

u(t) = 1의 경우 그래프

 

$$u(t-a) = \left\{\begin{matrix}
1, & t - a > 0 일 때 \\
0, & t - a < 0 일 때 \\
\end{matrix}\right.$$

         $u(t-a)$의 경우 아래와 같은 그래프입니다.

u(t-a) = 1의 경우 그래프

    단위 계단 함수를 요약하면 다음과 같습니다.

      ① t = 0에서 불연속적인 계단 모양의 함수입니다.

      ② 스위치의 역할을 할 수 있습니다.

      ③ 여러 다른 종류의 신호, 특히 불연속적인 파형을 가지는 구간 연속 신호를 표현하는 데 매우 유용합니다.

 

 

3. 단위 램프 함수 : t

     ① 램프 함수는 계단 함수를 적분하여 얻을 수 있습니다.

$$\int _{-\infty }^t u(\tau )d\tau = tu(t) = r(t)$$

$$r(t) = \left\{\begin{matrix}
t, & t > 0 \\
0, & t < 0 \\
\end{matrix}\right.$$

단위계단함수 그래프

     ② 계단 함수와 램프 함수는 시스템의 특성을 파악하기 위한 시험 신호로 많이 활용됩니다.

     ③ 계단 신호 > 급작스런 입력 신호 값의 변화에 대해 시스템이 어떻게 반응하는지를 살펴볼 때 사용합니다.

     ④ 램프 신호 > 시간에 비례하여 직선적으로 증가하는 입력 신호에 대한 시스템의 반응을 살펴볼 때 사용합니다.

 

 

    ★ 단위 계단 함수와 단위 램프 함수의 관계

$$r(t) = \int _{-\infty }^t u(\tau )d\tau$$

 

        ① 램프함수는 계단함수와 위 적분식의 관계에 있으며 여기서  는 계단함수의 독립변수, t는 램프함수의 독립변수를 의미합니다.

        ② 시간 t에서 램프함수의 값은 단위 계단함수의 인수  에 대하여 –∞에서 시작하여 t 까지 (t 를 이동하면서) 계단 함수 아래의 면적을 적분하여 구함을 의미합니다.

        ③ t<0 인 경우 적분값은 0 이 됩니다.

        ④ 적분의 결과값을 관찰하면 r(t) = tu(t) 와 동일함을 알 수 있습니다.

 

 

4. 가속도 함수 : $t^2$

가속도 함수는 물체의 운동을 분석하고 이해하는 데 사용됩니다. 이를 통해 물체의 운동 상태를 시각적으로 파악하고, 물리적인 문제를 해결하는 데 도움을 줍니다. 또한, 공학에서는 가속도 함수 그래프를 통해 기계나 구조물의 동적인 특성을 분석하고 설계하는 데 활용됩니다.

가속도함수 그래프

 

 

 

필수 라플라스 변환 공식 (암기사항 ★★★)

 

    - 아래 내용은 반드시 암기 하시길 바랍니다. 많은 내용이 있지만 시험에 자주 출제되는 부분만 발췌하였습니다. 반드시 암기하시길 바랍니다.

구분		시간 함수 $\mathfrak{f}(t)$	주파수 함수 $F(s)$
1	임펄스 함수	δ(t) = 1	1
2	단위 계단 함수	u(t) = 1	$$\frac{1}{s}$$
3	단위 램프 함수	$$t$$	$$\frac{1}{s^2}$$
4	시간(가속도) 함수	$$t^n$$	$$\frac{n!}{s^{n+1}}$$
5	지수 함수	$$e^{at}$$	$$\frac{1}{s-a}$$
6	지수 함수	$$e^{-at}$$	$$\frac{1}{s+a}$$
7	삼각 함수	$$sinωt$$	$$\frac{a}{s^2 + ω^2}$$
8	삼각 함수	$$cosωt$$	$$\frac{s}{s^2 + ω^2}$$

 

    ★ 참고 사항

          - 시간(가속도) 함수의 라플라스 변환 : 팩토리얼(!)

         1부터 n(어떤 수)까지의 모든 자연수를 곱하는 것입니다. 팩토리얼을 차례곱 또는 계승이라고도 합니다. 형식은 아래와 같습니다.

$$n! = nㆍ(n-1) ㆍ (n-2) ㆍㆍㆍ3ㆍ2ㆍ1$$

          1! = 1

          2! = 2×1 = 2

          3! = 3×2×1 = 6

          4! = 4×3×2×1 = 24

          5! = 5×4×3×2×1 = 120

 

          - One shot

             $$\mathcal{L}[t^1] = \frac{1!}{s^{1+1}} = \frac{1}{s^2}$$

             $$\mathcal{L}[t^2] = \frac{2!}{s^{2+1}} = \frac{2}{s^3}$$

             $$\mathcal{L}[t^3] = \frac{3!}{s^{3+1}} = \frac{6}{s^4}$$

 

 

 

문제로 익히기

 

1. 다음의 시간 함수를 주파수 함수로 라플라스 변환 하시오

     - 빈칸을 마우스로 드레그 해보세요. 해답을 볼 수 있습니다.

구분	시간 함수 $\mathfrak{f}(t)$	주파수 함수 $F(s)$
1	$$\mathcal{L} f(t) = 5$$	$$F(s) = \frac{5}{s}$$
2	$$\mathcal{L} f(t) = e^{-3t}$$	$$F(s) = \frac{1}{s+3}$$
3	$$\mathcal{L} f(t) = e^{jωt}$$	$$F(s) = \frac{1}{s-jω}$$
4	$$\mathcal{L} f(t) = te^{at}$$	$$F(s) = \frac{1}{(s-a)^2}$$
5	$$\mathcal{L} f(t) = e^{-2t} cos3t$$	$$F(s) = \frac{s+2}{(s+2)^2}$$
6	$$\mathcal{L} f(t) = 1-e^{-at}$$	$$F(s) = \frac{a}{s(s+a)}$$
7	$$\mathcal{L} f(t) = δ(t)$$	$$F(s) = 1$$
8	$$\mathcal{L} f(t) = 5u(t)$$	$$F(s) = 5\times \frac{1}{s}$$
9	$$\mathcal{L} f(t) = δ(t)-be^{-at}$$	$$F(s) = \frac{s}{s+b}$$
10	$$\mathcal{L} f(t) = cosωt$$	$$F(s) = \frac{s}{s^2 + ω^2}$$
11	$$\mathcal{L} f(t) = \frac{e^{at} + e^{-at}}{2}$$	$$F(s) = \frac{s}{s^ - a^2}$$
12	$$\mathcal{L} f(t) = sin3t$$	$$F(s) = \frac{3}{s^2 + 9}$$

 

    ★ 참고 사항

         - 위 문제 중 4,5,6,9,11,12를 구하는 방법을 아래와 같이 상세히 알려 드리오니 참조 하시기 바랍니다.

 

            ㆍ 4번

                1. 이런 문제는 라플라스 변환 공식에 없기 때문에 당황할 수 있습니다. 하지만 걱정하지 마세요. 그림(노랑과 파랑 박스)과 나누어 보면 라플라스 변환 공식에서 변환된 주파수 함수 $F(s)$를 찾을 수 있습니다.

 

                2. 가장 먼저 지수 함수$(e^{at})에 대응하는 주파수 함수 $F(s)$를 찾아보면 $\frac{1}{s-a}임을 알 수 있습니다. 그림에서 ①번과 같이 지수 함수 $e^{at}$의 라플라스 변환 값을 표기합니다.

 

                3. 다음으로는 단위 램프 함수$(t)$의 주파수 함수$(F(s))$ 값$\frac{1}{s^2}$을 ①번 값과 합해주면 완성이 됩니다.

 

            ㆍ 5번

                 4번 문제와 풀이 과정은 동일 합니다.

                  ① $cos3t$는 라플라스 변환 공식 중 $\mathcal{L}[cosωt] → F(s) = \frac{s}{s^2+ω^2}$을 이용하여 구해보면 $cos3t = \frac{s}{s^2 + 3^2}$이 됩니다.

                  ② 지수 함수 $e^{-at} = \frac{1}{s+a}$입니다.

                  ③ ① + ② = ∴ $\frac{s+2}{(s+2)^2 + 3^2}$

 

            ㆍ 6번

                이제 어떻게 풀어야 되는지 이해가 되셨는지요? 이 문제는 설명 없이 풀이 과정만 보여 드리겠습니다.

                $f(t) = 1 - e^{-at} → F(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+a} = \frac{s+a-s}{s(s=a)} = \frac{a}{s(s+a)}$

 

            ㆍ 9번

                $f(t) = δ(t) -be^{-at} → F(s) = 1 - b \times \frac{1}{s+b} = \frac{s+b-b}{s+b} = \frac{s}{s+b}$

 

            ㆍ 11번

                 $f(t) = \frac{e^{at}+e{-at}}{2} = \frac{1}{2}(e^{at}+e^{-at}) → F(s) = \frac{1}{2}(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a} = \frac{1}{2} \times \frac{s+a+s_a}{(s_a)(s+a)} = \frac{s}{s^2-a^2}$

            ㆍ 12번

                 $f(t) = sin3t → F(s) = \frac{3}{s^2+3^2} = \frac{3}{s^2+9}$

 

 

2. 다음을 역라플라스 변환 하시오

     - 역라플라스 변환이란 t의 함수를 s의 함수로 만드는 것을 라플라스 함수라고 합니다. 이 라플라스 함수를 반대로 만드는 것 즉, s의 함수를 t의 함수(s → t)로 만드는 것을 역라플라스 변환이라고 합니다.

 

     - 역라플라스 변환의 시험 유형 중 아래와 같은 경우가 80%를 차지하고 있습니다. 이 점에 착안하시어 공부를 하시기 바랍니다. 잘 출제되지 않는 20%에 들이는 시간을 부족한 다른 과목 공부에 활용하시기 바랍니다.

$$F(s) = \frac{k}{(s+α)(s+β)} = \frac{A}{s+α} + \frac{B}{s+β} → Aㆍe^{-αt} + Bㆍe^{-βt}$$

 

    문제 1) $F(s) = \frac{1}{s(s+1)}$

$$F(s) = \frac{1}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} = \left\{\begin{matrix}
A = \frac{1}{s+1}|_{s=0} & =1 \\
B = \frac{1}{s}|_{s=-1} & =-1 \\
\end{matrix}\right.$$

$$= \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1} = f(t) = 1 - e^{-t}$$

    문제 2) $F(s) = \frac{s+1}{s^2+2s}$

$$F(s) = \frac{s+1}{s^2+2s)} = \frac{s+1}{s(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} = \left\{\begin{matrix}
A = \frac{s+1}{s+2}|_{s=0} & =\frac{1}{2} \\
B = \frac{s+1}{s}|_{s=-2} & =\frac{1}{2} \\
\end{matrix}\right.$$

$$= \frac{\frac{1}{2}}{s} + \frac{\frac{1}{2}}{s+2} = f(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{-2t}$$

    문제 3) $F(s) = \frac{2s+3}{s^2+3s+2}$

$$F(s) = \frac{2s+3}{s^2+3s+2)} = \frac{2s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} = \left\{\begin{matrix}
A = \frac{2s+3}{s+2}|_{s=-1} & = 1 \\
B = \frac{2s+3}{s+1}|_{s=-2} & = 1 \\
\end{matrix}\right.$$

$$= \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2} = f(t) = e^{-t} + e^{-2t}$$

    문제 4) $F(s) = \frac{5s+3}{s(s+1)}$

$$F(s) = \frac{5s+3}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+1} = \left\{\begin{matrix}
A = \frac{5s+3}{s+1}|_{s=0} & = 3 \\
B = \frac{5s+3}{s}|_{s=-1} & = 2 \\
\end{matrix}\right.$$

$$= \frac{3}{s} + \frac{2}{s+1} = f(t) = 3 + 2e^{-t}$$

 

 

 

설명을 수포자에게 맞춰 하다보니 내용이 상당히 길어졌습니다. ^^;;; 하지만 실제 내용은 얼마 되지 않습니다. 전기 직종(전기(공사)기사, 전기(공사)산업기사 등) 시험에서 라플라스 변환과 역라플라스 변환은 오늘 설명한 정도가 출제되고 있기 때문에 이 부분만 충분히 공부한다면 합격에는 문제 없을 것입니다. 연습을 통해 다양한 형태의 문제에 익숙해지시길 바랍니다. 여러분의 합격을 기원합니다. 감사합니다.